28 ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 



n'est pas égal, dans le cas général, au reste de la division de 2"~' par 

 n, il est égal à ce reste augmenté d'un multiple de n. Car, soit q le 

 nombre des combinaisons primitives, r le nombre des combinaisons 

 nulles d'elles-mêmes, Q le quotient de 2"~' par 71, R le reste de cette 

 division , on aura l'égalité 



«j -1- r = nQ + R , d'où r=:(Q — y)n-t-R. 



Cette conclusion , qui renferme tout ce qu'il faut connaître ici sur le 

 nombre des combinaisons nulles d'elles-mêmes, sera confirmée par 

 les calculs qui vont suivre. 



Ces préliminaires posés, venons-en au développement des produites 

 continues en séries , et commençons par lexpression (34). 



Les n relations (35) étant multipliées par ix, si l'on prend la somme 

 des cosinus des premiers membres et celle des cosinus des seconds 

 membres, on aura, en représentant par C, cette somme, 



C, = COS. y »> -t- COS. y &ix -t- COS. y /3'îj; -+- .... -t- cos. y /3"~' ii , 



or, on sait que 



COS. y, a^ix = l+/3'^./ -^ + /3^A./ iij + /3<'''.^6 £!_ ^ . . . . 



faisant donc, dans cette formule, successivement fi = 0, 1 , 2, 3, 4, . . . 

 71 — 1 et ajoutant les résultats membre à membre, on trouvera, en 

 ayant égard aux propriétés des racines de l'unité , 



^r'" J"^" r^" 



^ ' ■ ' ,2"/l i"*"/! j""/l 



œ, dans cette série représente l'une des combinaisons primitives. J'ai 

 indiqué par q le nombre de ces combinaisons primitives, et par r le 

 nombre des combinaisons nulles d'elles-mêmes. La somme des cosi- 

 nus des arcs qui correspondent à ces dernières est donc égal à r, et la 

 somme ou la différence de leur sinus, zéro. 



