30 ESSAI SUR LES PRODUITES CONTUNUES. 



La transformation en série du produit (16) 



sin. »>. sin. ^l'.r. sin. /3'i>. sin. /S'îx .... sin. $"-' ix , 



présente deux cas : n peut être un nombre pair ou un nombre impair. 

 Dans le premier cas, ce produit sera donné en fonction de cosinus par 

 la seconde des identités (10); dans le second cas, il sera exprimé en 

 fonction de sinus par la troisième de ces identités. Occupons-nous 

 d'abord du premier cas, et, pour éviter les périphrases, convenons 

 de dire , suivant une expression déjà en usage, que deux nombres sont 

 de même espèce quand ils sont tous les deux pairs ou tous les deux 

 impairs; qu'ils sont d'espèce différente quand l'un est pair et l'autre 

 impair. 

 Soit 



1 ± (3 =h /3' ± fl' ± /3'> ± .... ± iS"-' , 



une combinaison quelconque des quantités 1 , /3, /S' . . . /S""'. Je suppose 

 qu'on la multiplie par /3 et que, remplaçant ensuite /5" par — I , on 

 transporte ce terme à la gauche de tous les autres; je suppose aussi 

 qu'on change tous les signes, s'il est nécessaire, pour que le premier 

 terme soit positif; n étant pair, je dis que le nombre des parties né- 

 gatives de la combinaison sera changé d'espèce; c'est-à-dire que la 

 combinaison nouvelle renfermera un nombre impair de termes néga- 

 tifs si la première en renfermait un nombre pair, ou réciproquement. 

 En effet, n étant pair, le nombre des parties négatives et le nombre 

 des parties positives sont de même espèce. D'une autre part^ si le der- 

 nier terme est positif et qu'on multiplie par — /3 la combinaison don- 

 née, tous les signes en seront changés, et le résultat 



— (3" =F 3 =F /3' =F /3' q: .... 



renfermera autant de parties négatives que la combinaison donnée 

 en renfermait de positives. Le nombre des parties négatives ne sera 

 pas, jusqu'alors, changé d'espèce. Mais il en changera après la sub- 

 stitution de -|- 1 à — /3". Si le dernier terme est négatif, il est évident 



