ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 31 



qu'après la multiplication par -f /S et la substitution de + à — /3", 

 il y aura une partie négative de moins. Donc le nombre des parties 

 négatives sera également changé d'espèce. 



Il suit de cette proposition qu'une combinaison primitive et ses 

 n — 1 dérivées, renferment chacune un nombre de parties négatives 

 qui changent d'espèce de l'une à l'autre , quand on les considère dans 

 leur ordre de dérivation , dans l'ordre présenté , par exemple, dans le 

 tableau (35). Si donc on prend, pour combinaison primitive, parmi 

 les n combinaisons de chaque groupe, une combinaison qui renferme 

 un nombre pair de parties négatives , cette combinaison répondra h 

 un cosinus positif (10), et ses dérivées consécutives correspondront, à 

 partir de la première , à des cosinus alternativement négatifs et posi- 

 tifs. Ainsi , 'jp étant cette combinaison primitive et ses dérivés étant , 

 au signe près, /5(j)^, /S'tp^, /S'^^, P"^\p) la réunion des cosinus cor- 

 respondants à ce groupe sera , en la représentant par S^ , 



S^^COS. y^tj: — COS. y^(3î> H- COS. y^/3'j2; — .... — COS. f - /3"— ' J>. 



Chaque cosinus de cette formule étant remplacé par son développe- 

 ment en série donné plus haut, on trouvera, en ayant égard aux pro- 

 priétés connues des racines de l'unité , 



x" x"^" x'" 



b«=:».y/. — — -+- n. ^f}". -r— ■+- n. s/". -— — -H etc. 



Donnant ensuite à p les valeurs successives \, 2, 3, .... q, et ajoutant 

 les résultats, on obtiendra, en vertu de la seconde des relations (10), 



sin. ix. sin. fiix. sin. 0'ix. sin. fiir sin. /î"-' î.r = 



(■40) l /' n x" n a;'" n x^" \ 



11 n'est pas nécessaire de tenir compte des cosinus des arcs nuls , car 

 ces cosinus s'entredétruisent. On remarquera, en effet, que le nombre 

 de ces arcs est pair, et comme l'un étant pris pour combinaison pri- 



