ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 33 



Mais elle redeviendra la même lorsqu'on y aura substitué l'unité po- 

 sitive à — /5". Ainsi, la combinaison — (3^^ répondra aussi à un sinus 

 positif. Toutefois ce sinus étant celui d'un arc négatif — /3|>^, sera lui- 

 même négatif. 



Donc, si la combinaison ç)„ contient un nombre pair de parties né- 

 gatives, les sinus de l'arc ç)^ et de ses n — 1 dérivés successifs, seront 

 alternativement positifs et négatifs. Par suite, on aura pour la somme 

 algébrique de ces » sinus , 



(i~) • ■ . S' ^sin. y j> — sin. 'j^/3î.r -4- sin. -j /3'i> — sin. y ûH> .... -4- sin. y /S"— ' /.r. 



L'expression en série du sinus de l'are fi'^cfp ix étant 



sin. 



y,^ ,^ = l/_l (^0 y^ ^ + 5 • .,, _ + /3 ■ ,^ _ + a • ,^ _- + etc. J , 



si l'on y donne à ij. les valeurs successives 0, 1 , 2^ 3, .... n — 1 , et qu'on 

 ajoute, membre à membre, les /i résultats, on aura, par la formule (42) 

 et en ayant égard aux propriétés des racines de l'unité 



SV = »/=^ f«r.=" "i^ + «?/" -^i + «?/" 1^ + etc. 



si l'on remplace, dans cette dernière formule, p par les nombres suc- 

 cessifs 1 ,2, 3, .... 5», la somme des résultats de ces substitutions don- 

 nera, en vertu de la dernière des relations (10), 



sin. î>. sin. (iix. sin. /3'ïs. sin. /S'i'a; .... sin. (i''—'ix = 



/ « ^" » ^"' » ^^" ^ 



— y — 1 ( r '^, — 77 -+- t''i..- , Il ■+- T Lr„,. . „ -I- etc. ', . 



La comparaison de cette identité avec celle qui porte la marque (16) 

 conduit à celle-ci : 



- (.-.(-.)"- ^) (' -(-.)-■ ^) (.M- .r' ^) X etc. = 

 "-. ■ ( „»-l '" ,«,1 '*' «,«-• ''■■ ,3'Vl 



Ton. XIV. 



L-„. -t- etc. 



o«, 1 



