36 ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 



et l'on est amené naturellement à rechercher quelles sont les valeurs 

 de l'exposant m pour lesquelles cette formule est possible, et quelle 

 est, pour ces valeurs, la loi des cofficients A, , Ao, .... A„. 



Occupons-nous de cette recherche , et , pour abréger , convenons 

 d'écrire la relation générale (44) comme il suit : 



la caractéristique 2;| indiquant la somme de toutes les quantités qu'on 

 déduit de ^r"''. (a + •^' + ^rtÇ)"""^" ? en y donnant à n les valeurs 

 successives , 1,2,3,.. n. Il est bon de remarquer dès à présent que 

 la valeur du coefficient Ao est l'unité , du moins lorsque m est un nom- 

 bre positif. C'est ce dont on peut s'assurer en faisant dans cette der- 

 nière formule w = et .î?= 0. 



La quantité a étant considérée comme une constante et x comme 

 une variable qui varie par accroissements négatifs et égaux à — ç, pre- 

 nons la différence de l'ordre p des deux membres de cette relation. 

 On aura , en se contentant d'abord d'indiquer les opérations , 



(iS) aP. W? = E„"A„. aP. [.r'"?(a + .c -t- 2«?)"-2«/Ç]. 



mais fiX et F.r étant deux fonctions de a? , on sait que 



\r(fx.Yx] =fx. ^PVx + ^ \fx a'"^' F(.r— ?) -v- '-—- A'/i- ^P"" F (j— 2Ç ) 



«/-l _ 



-4- + ^ aYj. a''""F(j;— nÇ) + etc. 



Faisant donc , dans cette formule , 



fx = a;«'Ç et Yx = [a + x-^- an^)"'-^"/-' , 



et remarquant que, lorsque l'accroissement ç est négatif, on a, eu 

 général , 



a3 Fj = [m — %ifi-\ [a + J- -h 2nÇ)'"-2"-5/' Ç'' , 



