ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 39 



dans laquelle A. î; représente l'accroissement donné à la variable x , on 

 fait x= m — 1 , A^= + 1 ei fx= {m — 1)^~ ~ , on en tirera 



,f(„._l)?-i/-i = (,„_l)?-V-i_| (,„_2)?-i'-i + 4!^(m_8)?-ii-i 



l j3/l 



+ (-1)'-' —^ (.«-,)^-"-^ -. (-1)". («.-ç,-l)^-'/-\ 



Or, 



et comme 



il en résulte que 



i?(,„_l)?-i/-i = 0. 



Le premier membre de la relation précédente est donc nul : de là la 

 formule en question. 



(47) 



^ (_1)?+1. (,„_y_l)V-l/-l = (,„_1)?-1/-1 _ 1 („,_2)? 



Revenons actuellement à la relation (46) et remarquons que, quand 

 l'exposant m est un nombre entier positif, le nombre des termes de la 

 série (44) est égal à | + 1 ou ^^— selon que m est pair ou impair. L'ex- 

 posant m — n, dans les limites où il doit être pris, est donc toujours 

 positif et la factorielle 0"""'^ toujours nulle. Au contraire, lorsque 

 cet exposant est un nombre fractionnaire ou négatif, le nombre des 

 termes de la série est visiblement infini. Il existe, dans cette hypo- 

 thèse, un nombre n à partir duquel l'exposant m — n est toujours 

 négatif. Mais, en observant que la factorielle 0""""'' égale à O"'"""™^'^ 

 est alors équivalente à _^w-.n-m/; ? on voit que le facteur 0™""'^ qui 

 peut devenir infini quand ç est nul, conserve au contraire une valeur 

 assignable quand cet accroissement est différent de zéro. Or , le fac- 



