40 ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 



teur O"""" devenant infini, le premier membre de la relation (46) 

 prend une valeur de même ordre, et dès lors les expressions des coeffi- 

 cients A„, A„^, , A„_^2 , etc. , tirées de cette relation , impliquent elles- 

 mêmes l'infini. De là il résulte que la forme de la série (44), com- 

 patible avec la nature de la quantité à développer a"'^ + ^""'S quel 

 que soit l'exposant m , tant que ç est différent de zéro, cesse de l'être 

 quand cet accroissement est nul et que l'exposant m n'est pas un 

 nombre entier et positif. Mais ce qu'il importe de connaître pour la 

 suite de ce mémoire, c'est précisément la loi du développement (44) 

 pour le cas où ç est égal à zéro. Je me bornerai donc ici , pour ne 

 pas m'écarter trop de mon but , à supposer , dans les formules qui 

 précèdent et dans celles qui vont suivre, que m est entier et positif, 

 me réservant de donner ailleurs les développements relatifs au cas 

 général. 



Cette hypothèse étant introduite dans la relation (46), elle perd 

 son premier membre et devient 



I = //."/-' a"/' -4- «1/-^ («1— 2)"-'/-l (a+ ?)"-»/? A, 



-4- 1"/» . A„. 



Faisons, en premier lieu, dans cette formule n= 1 ; d'où 



= ma\f^ -\- A, 



et 



A, = — a»i'/'. 



Faisons, en second lieu , w = 2, et substituons en même temps à A, 

 la valeur trouvée. Il viendra 



= v?!-"' o^/?— 2h.(»« — 2)a(a-t- ?) + 1.2 A, , 



et , après les réductions effectuées , 



A, = -H O"''' • 



Soit, en troisième lieu, n=Z. Cette valeur de n et celle des coef- 



