42 ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 



La supposition d'un accroissement ç infiniment petit ou nul transforme 

 les factorielles en simples puissances; si, en soumettant la formule à 

 cette hypothèse , on y change en même temps a en 4', , a; en Y, et m 

 en a , on parviendra à la formule d'Ampère que voici : 



, ■■• '^' =' ,a/i 



3/- 



W-{ -"4r-- >iî-^'-K + '',r'-^ete. 



^ cf'' (^ ' se S' 



(— 1). — Y- • f. • 'l,('l, + lj ■'-+-etc. 

 1''' 



Soit fait , dans cette formule , % = cos. x + ^ — 1 sin. r et 

 ^2 = cos. X — ^ — 1 sin. X. On aura ^, + M^o = 2 cos. x, ^\. T, = 1 

 et, par le théorème de Moivre. 



^" ^ COS. ax -\- V' — I sin. a.x 

 'l" = COS. ax — 1/ — 1 sin. sa;. 



on arrive ainsi à cette série d'Euler 



2 COS. ax = V COS. 'x — - 2"-^ COS. '"^J -+- " „ ^^ S^'-^cos. ='-*j 

 1 I-'' 



13/1 



qui cesse d'être exacte quand « n'est pas un nombre entier positif. On 

 voit en effet , par ce qui précède , que , dans cette hypothèse, les coef- 

 ficients de la série devraient être augmentés d'une partie qui pourrait 

 être nulle pour quelques-uns, mais qui serait nécessairement infinie 

 pour tous les autres à partir de l'un d'eux. Et , sous cette forme com- 

 plète , la série décèle visiblement l'impossibilité de développer le cosi- 



posant quelconque m , il faudrait tirer de la relation (46) la valeur du coefficient de même ordre 

 en y faisant abstraction du terme vi"'~ . a"'^ , et l'ajouter à celle de A, à laquelle on vient 

 de parvenir. 



i 



à 



