70 ADDITION. 



Remarquons aussi que la série précédente est l'expression du coefficient 

 différentiel du logarithme de la produite continue X. Ou aura donc 



(/. Ion. X ,, ,„_, „ am — , n „3ra - 





et en intégrant 



Il n'y a pas lieu d'ajouter de constante arliitraire, puisque les deux 

 membres de cette relation sont nuls pour .-r ^0. 



L'analyse qui précède donne donc les logarithmes des produites 

 continues qui font l'objet du mémoire , et cela sans rien supposer de 

 ce que j'ai admis pour arriver à ces logarithmes. 



Si l'on voulait construire le logarithme de X par la méthode dont 

 j'ai fait usage dans le mémoire , on arriverait à une série de la forme 

 de celle que je viens d'atteindre; et l'on reconnaîtrait, par la nature 

 même de cette construction , que , dans cette série , le coefficient de 

 x'" est la somme des puissances réciproques du degré impair m de la 

 suite infinie des nombres a, a-\-à, a-\-3â,etc., qui se succèdent en pro- 

 gression par différence ; et que le coefficient de { *' "' , dans la même 

 série , est la somme des puissances réciproques du degré pair 2m de la 

 même suite. Donc P„ et ?,„, représentent respectivement ces sommes. 

 D'ailleurs leur expression algébrique s'obtient en faisant successive- 

 menty = 'm, y=1m dans celle de Py. Il résulte de là que cette dernière 

 est la somme des puissances réciproques de degré quelconque d'une 

 suite infinie de nombres en progression par différence. 



On aura donc , quel que soit y , 



III I 15, ■> n,J^ r'/' R^J^ 



a (n-i-J) [a-h'2'l)' [y — ]).cr .à a u 1 n 



/■ B,J'^ 



1 a 



et ce résultat est conforme à celui que fournit l'application du calcul 

 des différences finies à la sommation des suites. 



