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qu'en snivniil celle de Legendre, on est obligé de faire 

 abstraction du cas où le radical R ne peut pas se décomposer 

 en facteurs réels du second degré de la forme j/^TTJ^, d'où 

 l'on tire la conclusion erronée que, dans ce cas, la fonc- 

 tion proposée n'est pas réductible aux fonctions elli(>tiques. 

 Il est singulier que Logcndre, qui avait fait quelques ob- 

 servations sur ce cas difScultueux, dans la première édition 

 de son grand traité, les ait supprimées dans la seconde. 

 L'auteur démontre ensuite une nouvelle formule générale 

 commune à toutes les fonctions elliptiques , et dont il dé- 

 duit, comme corollaires, une multitude d'intégrales par- 

 ticulières que Legendre a rapportées, sans indiquer la 

 manière dont il y est parvenu, bien que plusieurs de ces 

 intégrales ne puissent s'obtenir, apriorif que par des ar- 

 tifices de calcul qui exigent des recherches plus ou moins 

 laborieuses. 



» Le troisième chapitre est consacré à l'examen des pro- 

 priétés des fonctions elliptiques de la première espèce, que 

 l'auteur regarde comme des secteurs d'une courbe fermée 

 semblable à l'ellipse, et qu'il nomme pour ce motif, la 

 fausse ellipse. Cette représentation géométrique, qu'il a 

 étendue aux fonctions elliptiques des deux autres espèces, 

 en la modifiant, a l'avantage d'offrir à l'esprit une peinture 

 sensible des résultats abstraits de l'analyse, peinture qui 

 permet de s'en rendje compte avec plus de facilité. L'au- 

 teur démontre ensuite plusieurs |)ropriélés curieuses de la 

 courbe dont il s'agit, puis il donne une manière très-simple 

 de la construire par points. 



» Le quatrième cha[)itrc traite des fonctions elliptiques 



de la seconde espèce. Après avoir démontré que ces fonc- 



lions représentent des arcs d'ellipse, l'auteur donne une 



démonstration nouvelle du théorème de Fagnani, ainsi 



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