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 LECTURES ET COMMUNICATIONS. 



De quelques séries tant réelles qu'imaginaires , conver- 

 gentes et divergentes , par J.-G. Garnier, membre de 

 l'académie. 



1° Des séries réelles. On sait que la somme des n pre- 

 miers termes de la progression géométrique 



\—x 1- 



(A) 



et comme, pour des valeurs croissantes de n, la valeur 

 numérique de -^ converge vers la limite zéro, ou croît 

 au delà de toute limite, suivant que la quantité x est in- 

 férieure ou supérieure à l'unité, il s'ensuit que, dans la 

 première hypothèse, la progression ci-dessus est conver- 

 gente^ c'est-à-dire, qu'elle a pour somme — — , et que, 

 dans la seconde, elle est divergente ou qu'elle n'a plus de 

 somme ou de limite. Ainsi, [)0ur que la série 



V„ , lhi-\-i , ctc (1) 



soit convergente, il est nécessaire et il suffit que, pour des 

 valeurs croissantes de n , la somme converge vers une li- 

 mite fixe /, ou il est nécessaire et il suffit que. pour des 

 valeurs infuiimcnt grandes de rt, les sommes ,¥„ , .Vn+i , 

 *„-+., . . . . , diffèrent de la limite l, et par conséquent diffé- 

 rent entre elles de quantités infiniment petites. D'ailleurs 

 les différences successives entre la première somme s„ et 



