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 chacune des suivantes #„+, , *„_i-2 , *«h-3 . . . . , sont données 

 par les équations 



Sn + Z S„ = Wn ■+- l'n-hi -+■ "«+2 5 etC. 



Donc pour que la série (1) soit convergente, il est d'abord 

 nécessaire que le terme général Uu décroisse indéfiniment, 

 lorsque ?t augmente; mais parce que cette condition ne 

 suffit pas, il faut encore que, pour des valeurs croissan- 

 tes de n, les différentes sommes u„ -t- Un+i', u„ -+- Mn-+-i 

 ■+■ Wrt+2 -+-...., c'est-à-dire que les sommes des quantités 

 Un , ««-+-1 , w«+2 . . . . , prises à partir de la première , 

 en tel nombre qu'on voudra, finissent par acquérir des 

 valeurs numériques inférieures à toute limite assignable. 

 Lorsque ces conditions sont remplies, la convergence de 

 la série est assurée. 



Soit, par exemple, la progression géométrique 



i : X : X' : x^ . . ■ . . . (2) 



si la valeur numérique de a? , est supérieure à l'unité , 

 celle du terme général x" croîtra indéfiniment avec l'ex- 

 posant n; d'où il s'ensuit qu'alors la série sera divergente : 

 elle le sera encore, si l'on suppose jr = ± 1, parce qu'a- 

 lors la valeur numérique du terme général x", se rédui- 

 sant à l'unité, ne décroîtra pas indéfiniment pour des 

 valeurs croissantes de x ; mais si la valeur numérique de 

 X est inférieure à l'unité, les sommes des termes de la 

 série, pris à partir des x" , en tel nombre qu'on voudra ^ 

 savoir 



1 -.r 



*•" -t- a;"-+-' = X" {\ -\-x) = x" X 



l—x 



