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 limites fixes , et divergente dans le cas contraire. Si ces der- 

 nières, ou l'une d'elles seulement, deviennent divergen- 

 tes, la série (7) le sera également. Dans tous les cas, le 

 terme général de cette série sera p,, -t- q„ y/ — 1. 



L'une des séries imaginaires les plus simples est celle 

 qu'on obtient en attribuant à la variable x une valeur 

 imaginaire dans la progression géométrique 



l , x , x^ . . . . x" , etc. ; 



concevons , pour mieux fixer les idées que l'on fasse 

 a? = r(cos. 0-t- sin, Q\/ — 1), z étant une nouvelle variable 

 supposée réelle, et 9 un arc réel : la progression deviendra 



i ; s(cos.ô-+-sin.(5|/ — 1); z- {cos.lô-+-sin.^6\/ — 1) ; . . . . 

 ; z" (^cos.nS-i- sm.7i6\/ — 1) . . (9) 



A l'effet d'obtenir l'expression de la somme des n 

 premiers termes de (9), il suffira de remplacer a? par 

 z (cos. 9 ■+- sin. 9 ]/ — 1) dans la formule (A), ce qui donnera 



l-f-5(cos.ô-f-sin.ôv/— l)-i-s'(cos.2â-4-sin.2â^/ — l)-t- .... 

 -t- s"— ' [cos. (« — l)ô-i-sin.(w — l)ê\/ — 1] 



1 z"{cos.nû-^!>\n.nS\/ — 1),,^, 



l—z{cos.ê-\-sin.ô\/ — 1) 1— ;3(cos.â-»-sin.â^/ — 1) 



Pour ramener le coefficient de — z^à la forme «-t-^^/ — 1, 

 on multipliera les deux termes de la fraction 



cos.nh -f-sin.MÔI/' — 1 



— ; par(l — zcos.O)-i- zsin.ei/—l , 



{l — zcns.ô)—zsin.6l/—l * ^ ^ VI 



ce qui donnera 



(cos.«e-f- sin.MO|/ — 1) [(1 — zcos. e) h- s sin. 6\/ — 1 j 



