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 équatioa de la même forme : ajoutant ensuite ces deux 

 équations, puis les retranchant l'une de l'autre, on en 

 conclura ces deux résultats délivrés des imaginaires, sa- 

 voir : 



, ^^ . = l-f-j9cos.a^-4-j3'cos.2a;+p^cos.3:r-j-etc. 



1 — '2p COS.. r-i-p^ ^ /ON 



p sin. .r. 



1 — '2p COS. a; -^p^ 



:psin. X -\-p" sin. '^x -\-p^ siii. 3.T-f-etc. 



On pourra comprendre ces deux identités en une seule, 

 en désignant par q un angle quelconque, multipliant la 

 première par sin. y, la seconde par cos. y, et les ajoutant, 

 ce qui donne 



.siii.g-i-«sin.f.r — q) . . , ^ -, ■ /n ^ 



, , ^^ i-=sin.o-+-Msin.(.r-t-g)H-» sin.(2a;+g) . /,, 



1 — "ipcoi.x-^-p- r^ ' 



+ p^ sin. {%x ■+- q) -+- efc. 



Ainsi l'on obtient facilement la somme de toute série dont 

 le terme général est de la forme p" sin. (nx ■+- q). Pour 

 que cette série soit convergente et qu'on en puisse calcu- 

 ler la valeur, il faut, comme nous l'avons supposé, qu'on 

 ait j5 < 1 ; mais cette fraction p peut différer de l'unité 

 d'aussi peu que l'on voudra , et si l'on imagine (jue p ap- 

 proche indéfiniment de l'unité, la valeur de la série sera 

 toujours représentée par le premier membre de (4). Si on 

 prend la limite de cette formule correspondante à p=\ , 

 et qu'on emploie la réduction 



sin. a,- = 2 sin. \ x cos. \ x , 



