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011 obtient 



2'" COS. '"x = COS. mx -+- — cos. (m — 2) x 



m(m — \) / ,\ I 



H — — COS. (w— 4) a- -+- etc. f 



H- [sin. war h — - sui. («t — 2) .r 



mfwi — 1) . .s -, ^ . 



-1- ^^ ^ sin. (m-4)^-]»/— 1 



Ainsi la valeur complète de 2™ cos. "^j: se compose de 

 deux séries dont la loi est évidente, et ce développement 

 ne peut être réel, à moins que le coefficient de \/ — 1 

 ne s'anéantisse, ce qui ne peut arriver que lorsque m 

 est un nombre entier et positif. En effet, le nombre des 

 termes de ce coefficient , étant m -+- 1 , le dernier terme 

 sin. [m — 2m) j? = sin. ( — mx) = — sin. (mx) détruit le 

 premier : l'avant-dernier terme, ou sin. (m — 2ni -+- 2) = 

 sin. [ — (m — 2) ar] = — sin. (m — 2) x détruit le second et 

 ainsi de suite, si m -+- 1 est pair. Dans le cas où, au con- 

 traire , m est pair , il se trouve au milieu de la formule un 

 terme tel que sin. (m — m) ar=sin. ox = 0, tandis que les 

 autres, pris à égale distance des extrêmes, se détruisent deux 

 à deux : c'est ce qu'on reconnaîtra facilement en prenant 

 successivement pour ?» un nombre impair quelconque, 

 puis un nombre pair. Dans ces deux cas, on retombe sur 

 la formule d'Euler ou sur celle de Lagrange qui ne pou- 

 vait^conclure de son analyse le terme imaginaire qui appar- 

 tient au cas de m fractionnaire. Prenons en second lieu les 

 lettres u et v dans un ordre inverse et posons 



%"• COS. '"X = (r -+- m)"' (3) 



