NOTE 



LA THÉORIE DES RÉSIDUS OUADRATIOUES. 



I. 



Dans deux mémoires sur la théorie des résidus quadratiques ( Mém. de 

 l'Acad. royale de Belgique, tom. XXIV et XXV), M. Schaar a donné des for- 

 mules remarquables, qui conduisent à la loi de réciprocité deLegendre, 

 et à la détermination des célèbres intégrales finies ou sommes alternées de 

 M. Gauss, et de plusieurs autres intégrales analytiques. Je montrerai 

 bientôt dans les Annali délie science Malcmatiche e fisiclie de M. Tortolini, 

 qu'on peut établir les mêmes formules et aussi une formule plus générale 

 à l'aide d'une expression de 2 F (a;), que M. Plana a donnée en 1820, 

 dans le tom. XXV de l'Académie de Turin, et que M. Schaar a démontrée 

 de nouveau en ISiS {Mém. couronnés, etc., par l'Acad. royale de Belgique, 

 tom. XXII, p. 19) ; mais ayant trouvé une autre démonstration qui m'a 

 successivement conduit à tirer ces formules de celles de M. Gauss par des 

 transformations assez simples et sans le secours du calcul intégral, j'ai 

 pensé qu'il ne serait peut-être pas sans intérêt de faire connaître aussi 

 mes nouvelles réflexions à ce sujet. 



Je ferai d'abord usage de la formule sommatoire de Poisson, à peu 

 près comme l'a fait M. Schaar dans son mémoire du 5 août i8\S {Mém. 

 couronnés, etc., tom. XXIII), el je commencerai par montrer qu'on peut 



