DES RESIDUS QUADRATIQUES. 7 



premier membre, on aura 



e P — ' 



expression, qui se réduit à p, si x est divisible par p, et à zéro dans le 

 cas contraire, x étant entier : il suffit donc de considérer les valeurs de 

 X, qui seront multiples de p, en faisant x = kp, k^ 1, 2, 5, ... q, et de 

 multiplier le résultat par p. De cette manière, et en indiquant la somme 

 du dernier membre prise par rapport à /, on obtient, après avoir divisé 

 par p. 





e 



relation générale entre trois nombres entiers p, q, r, qui exige seulement 

 que ces nombres soient tous impairs, ou que r soit pair si l'un des nom- 

 bres p, q est tel : d'ailleurs r peut être positif ou négatif. 



En supposant p et r pairs, on aura la même équation, que M. Schaar 

 désigne par (5) dans son Mémoire du 5 avril 1850, p. 11, et qui est la 

 formule fondamentale de ce mémoire. En supposant p pair, et r multi- 

 ple de Ipq ou nul, on aura la relation qu'il avait trouvée dans son autre 

 Mémoire du 6 octobre 1849, p. 7. Ainsi ces formules rentrent comme 

 des cas particuliers dans la précédente équation (7), qui comprend en 

 outre le cas de p, q, r impairs tous les trois (*). 



III. 



Maintenant voyons comment des seules formules de M. Gauss on peut 

 déduire l'équation (6). 



(■) On pourrait croire que IVquation (5) dii dernier mémoire de M. Sehaar eût une gém'ralité 

 plus grande à cause des (piantités f,, et p, qu'il désigne comme des constantes réelles ( p. 9 et 10) . 

 sans les assujettir à aucune restriction; mais en examinant ses calculs, on verra qu'ils supposent 

 que ^ps, et p soient des nombres entiers. 



