8 SUR LA THEORIE 



Les formules de M. Gauss se résument dans celle-ci , 



d'où, si n est multiple de 4, on tire 



(9) 2 



X = n 2;Tx2 



l/: 



^y- 



Vï' 



ou, écrivant 2m au lieu de n, 



2 _. 6"^"-' = 26 



:^»^-' = vie.*' »/n. 



1 = 1 



pour toutes les valeurs paires de n. Mais on a 



' ' V—l TcnV—i iTxK-i — 1/— 1 — JZ-i 



en = e e e " = e " i 



K étant pair, et par suite 



X = ! 



1=1 "^ x=i • 



donc 



x=n ^xs, — î|/~i ^_ 



(10) 2^^^ ,V»/-'=e' V/«. 



Cela posé, soit m un autre entier : en donnant successivement à x les 

 valeurs 1, 2, 5, ... n, il est clair que la somme m -^ x deviendra con- 

 Lçrue, suivant le module n et dans un ordre quelconque, aux mêmes 

 nombres 1, 2, 5, ... n, et qu'ainsi 



x = n 7r[vï-\-x)- , , — x^ïi rrj-- , — 



-^ K-i _ V "^^^-' 



X ^ I ' X ^ 1 ' 



car, en désignant par /.; un entier quelconque, n étant pair, on a 



e n = e » 



1 



