DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. 9 



Développant le carré (m -\-x)", il vient 



îrm- a y — x = n TTx^ . , — âTmx |/Z7 x = h ^x* , - — 



c >i 2, en' e » =i. en , 



x=:l X = I 



et substituant dans l'équation (10), on en conclut 



2 e n ^ e n * e^ ' Vn , 



qui se réduit à la formule (6), lorsqu'on remplace 2m par m. La formule 

 (6) est donc démontrée dans le cas où m et n sont deux nombres pairs. 

 Il* s'ensuit que la formule (7) est aussi démontrée, dans tous les cas où 

 les nombres pq et r seront pairs, et auxquels se rapportent toutes les 

 formules de M. Schaar. 



En écrivant 4p et Ar à la place de p et r , la formule (7) devient 



(M). 2^^, .^^ eT^-" = i e^' "" '^" \/^- 2.^, e' IT"^"' r'T^- ■ 



Cette formule est susceptible d'une transformation remarquable, lors- 

 que p et ^ sont des nombres impairs. Alors, dans la somme que renferme 

 le second membre, les termes correspondants à des valeurs paires de i se 

 détruisent entre eux, car une moitié de ces valeurs sera de la forme Ax, 

 et l'autre moitié pourra être représentée par l'expression Ax ± 2p, et l'on 

 aura 



rrtjitx 



e il' e p = e ■ e ip e v 



— }r{pq±iqx±'.T)V—< _ j_ 



Quant aux valeurs impaires de i, on pourra les représenter par Ip-^^-x, 

 en supposant x=\, 2, 3, ... p, et À = ± 1 ou >. = ± o, de manière 

 que X prenne deux fois les valeurs 1, 2, ... p. On aura 



