DES RESIDUS QUADRATIQUES. H 



d'ailleurs supposant que p et q sont deux nombres impairs, premiers entre 

 eux, on a, suivant la notation de Jacobi, 



à l'aide des formules (15) et (16), et en faisant m=pq — ;; — q -\- 1, 

 l'équation (14) devient 



ou 



puisque m = (p — 1) [q — 1), c-t*^-' =( — 1)^. Ainsi la loi de réci- 

 procité de Legendre , étendue à deux nombres impairs quelconques, 

 pourvu qu'Us soient premiers entre eux, découlent tiès-simplement de l'équa- 

 tion (14). 



IV. 



Pour démontrer la formule (6), dans le cas où h; et n sont deux nom- 

 bres impairs, on remarquera que 



Tx2 , , — mitx . / ^m- , TT , , j , , 



K— 1 1/— ) l-^ITi _ m-)-si «l/_i 



e" e " == e " ?"' ^ ' 



et que m -\-%x sera congru, suivant le module 2»;, à l'un quelconque des 

 nombres 1 , 2, 3, ... 2»*. Posons m -)- 2a; = 2A:n + ' •' ' sera impair comme 

 m, et on pourra faire i ± n = 1li, n étant aussi impair; on fera en même 

 temps 1k rp 1=A, prenant les signes supérieurs lorsque i ne surpassera 

 pas n, et les inférieurs dans le cas contraire, et l'on aura j/i + 2x'^AH + 2//. 



11 en résulte 



{m-i-2x)2 )?n li- 



= -— H- A/l H . 



4/i 4 n 



— (m-»-ïx)2|/-l -V-i hrr\/—i l!L\/_, 



fin ' ' = (• » . (' . f 11 ' 



puisque l est impair, et /- de la forme 8î -f- 1 ; 'I est, de plus, visible, 



