DES RESIDUS QUADRATIQUES. 13 



ces limites, de telle sorte que la même valeur correspond aux deux sup- 

 positions ti ^ a et 11 = a ± 2;-, i étant entier, a quelconque. Il s'ensuit 

 qu'en désignant par v une quantité réelle et positive quelconque, excepté 

 les nombres entiers, par q le plus grand entier contenu dans v, et par i- 

 le reste, savoir en faisant r^v — (/, on aura 



(17) r = I — - (sin. 2tI' -f- i sin. ixi' -1- i siii. 6tk -4- — ), 



(18) <j = V — ï -♦- 7 (sin. -2tv -h i sin. iirv -t- 5 sin. 6ti) h- ....). 



L'équation (18) coïncide avec une formule donnée par M. Schaar, dans 

 le tome XXIII des Mém. cour., etc., par l'Acad. roy. de Belgique. Mais il faut 

 remarquer que cette équation n'a plus lieu lorsque v est un nombre en- 

 tier, car alors le premier membre q est égal à v, et le second devient 

 V — ~. On en conclut que la série 



Su — 1 -f- - (sin. iav -t- i sin. 43-() h- | sin. Qtv ■+- ) 



exprime toujours un nombre entier, impair si v est un nombre entier, et 

 pair dans le cas contraire, puisque, dans le premier cas, elle se réduit à 

 "Iv — 1 , et dans le second à 27. 



Si l'on fait v^ r, a et b désignant deux nombres entiers, les formules 

 (17) et (18) exprimeront, par des séries infinies, le quotient q et le reste hr, 

 provenant de la division de a par b. Soit b un nombre premier impair : 

 en supposant t; = — , et faisant successivement a;=l, 2, 5, ... b — 1, 

 on obtiendra par la première formule la suite des résidus quadratiques 

 de b, répétée deux fois; et, en général, supposant «; = --, et j; = 1 , 2, 

 5, ... b — 1, cette formule donnera n fois la suite des résidus n""""" de b. 

 Mais dans le cas où v =^ -, a et b étant entiers, on peut transformer en 



une suite finie la série infinie que renferment les équations (17) et (18), 

 ce qui nous conduira à des résultais utiles pour la théorie des résidus 

 quadratiques. 



