H SUR LA THEORIE 



Appelons b' le plus grand entier contenu dans - , i l'un quelconque 

 des nombres 1, 2, 5, ... />', k un entier positif quelconque : tous les ter- 

 mes de cette série seront compris dans les trois formes 



•I 2(/16)0T I mb — i]a^ \ . 2(/r6-4-i)aT 



— sin. -, sin. , sin. , 



kb b kb — i b ko -t- i b 



et comme on a 



2 (te) 02- i(kb±i)a!r , -lia^ 



sin. = o, sin. ^ ± sin. ■ , 



h b b 



il s'ensuit que la même série se transforme dans une somme de produits 

 de la forme 



6 \ t b — i b -t- i 26 — i 2() -i- i 36 — » 



Or, on sait que cette nouvelle série, par laquelle sin. " - se trouve 

 multiplié, exprime j cot. — : donc la série primitive aura pour somme 



TT ' = ^ l.iair ïV 



— 2. sm. cot. — 



6 '=< 6 6 



Substituant cette valeur dans l'équation (17), et remplaçant r par -, 

 on trouvera 



6 ' = ''' 2«i3- (V 



(»9) '■= 2 ~ ^.=. ""• -r""'- T' 



où r sera le reste de la division de a par b. 



Des considérations semblables s'appliquent aux formules 



^ u^ sin. )( — ï sin. 2» -t- { sin. 3m • — i sin. 4m -i- 



j T = sin. Il ■+- 5 sin. 3u -i- | sin. 5m -t- ..... 



qui supposent, la première — t: < îi < n, la deuxième o < u < z; ainsi 

 qu'à d'autres formules du même genre. On en tirera 



' = '' sin. '^ 2 ■ = ''' 2m,T /.r 



(20). . . >-=bp-2 1._ (-\y. __J-, -(_!)' = -2. _ sm. — - tang. --- , 

 '-' sin.^ 6 ' — I 6 6 



en supposant a pair, et /* impair, et p = J^f( — 1)''^' + 1]. 



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