DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. 15 



Les équations (19) et (20) exigent que le reste r ne soit pas nul. On peut 

 les vérifier facilement, comme je vais le montrer pour la première. On a 



* = '" sin. (m-*- ^)x 

 2 COS. kx = — i -\- : , 



* = ' asin.jir 



d'oîi, en dilTérentiant par rapport à a:, on tire 



' = '" m COS. (m + i) X siii. mx 



2 /( sin. kx = — : -i- ! -: — , 



*= 1 2 siii. i X sin.-^a: 



et par suite 



l! = l' -2kiT b (V 



2, = . ^sin. -^ =-- cot. -, 



<î', 



IT 



en faisant m^b, x== ^. Cela change l'équation (19) en 



h 1 , = 6' k = l, r ^^(a — k) 2ïT(o-+-t)-l 

 r=--(--2 2 k\ COS. COS. ; : 



mais COS. — — — - = cos. — — , puisque a = bq -\- r ; d ailleurs la 



somme 2 " cos. — est éeale à 6', si le nombre r ± k est divisible 



i=i b ° 



par b; dans le cas contraire, elle se réduit à — ^ lorsque b est impair, à 

 — I + J COS. (r ± fe);: lorsque b est pair : en remarquant donc que, 

 pour rendre r + ^ divisible par b, il faut supposer k=^b — r, et que, pour 

 rendre r — A: divisible par /;, il faut supposer k^r, on conclura sans 

 difficulté, que le second membre de la dernière équation revient à l'une 

 des expressions 



2 6 L \ M 2 2 / \ 2 2 



2-6-'^'" 



== r, (6 impair), 



- — r. -J = r. (6 pair). 



de sorte qu'il devient identique au premier membre 

 On peut mettre les équations (20) sous la forme 



-.ly 



sin. 



JL . I 11'^ _ 



6 ■=' 6 ^ b 



— 2 2. (-1)'. " , (— ir = 2. sin. tang. 



1 = 1 »;.,"■ b ' 



en faisant »' = r lorsque le reste /■ sera un nombre pair, et r' = — (// — r) 

 lorsque /• sera impair. 



