16 SUR LA THEORIE 



VI. 



Pour appliquer ces formules à la théorie des résidus quadratiques, 

 soit n un nombre premier impair, et faisons h ^ n, a = Ax-, j;= 1, 2, 

 3, ... — ^ : on obtiendra pour /■ les -^— résidus quadratiques de n, et 

 la somme 1^~ '' sin. ^V- sera nulle si le nombre n est de la forme 



1=1 , . , b 



•4A -)- 1 , et sera = (-1- ~ \/Vi, si n est de la forme ik-{- 5. Si donc l'on 

 désigne par /' le nombre des résidus quadratiques pairs de n, par g le 

 nombre des résidus quadratiques impairs, et par R la somme de ces -5" 

 résidus, l'équation (19) et la deuxième des (21) donneront pour h= 4A: + 1 . 



nln—i) 



m) R = -~ — . t-9^0. 



et pour n = 4/. + .3 



(23). R=-^ ^ — iV/;( 2, ;- - cot.-, / — 3 = — — ^2. / - Wang. -. 



Lorsque n= àk-j-ô, on sait que si r est un résidu quadratique de n, 

 n — r est un non-résidu, et d'ailleurs 



2 * sin. ^ — • i y II ; 



donc, en nommant F la somme des résidus quadratiques pairs, et F' la 

 somme des non-résidus quadratiques pairs du nombre ii , on tirera de la 

 première des formules (21), n étant = Ak -\- 3, 



et par suite on pourra substituer aux valeurs impaires de i des valeurs 



