i8 SUR LA THEORIE 



on tirera de cette équation et des équations (26), 



(20). . „(/-.)=[^(')--]("^-^r). F-F' = [(:)-.](!ii:^-.K). 



On aura donc F — ¥' = o, lorsque R =1, et F — F'= — 2/"^- — aR^l 

 2» /2\ ^"' , . \ 2 / 



= -^(f — y)-, lorsquel -1 = — 1. Il s'ensuit 



(30) 2 — ^ = , 



sin. -j- 



si le nombre n esl de la forme 8A: + ^^ et pour n = 8k -\- 5 



(ai) Z — ~ — ; V n. 



sin. ~- "i 



Le premier de ces résultats a été démontré par M. Morizstern, dans le 

 tome XV des Mémoires- couronnés par l'Acad. roy. de Bruxelles (!'" partie, 

 p. 34)-, mais il avoue, que, malgré des efforts réitérés, il n'a pu déter- 

 miner cette somme dans le cas de n = 8A; -J- 3- On voit qu'elle dépend 

 des nombres entiers f, g, dont on n'a pas, à la vérité, une expression al- 

 gébrique en fonction de n, mais qui s'évaluent facilement pour chaque 

 valeur particulière de ce nombre. Je remarquerai que si (|) ^ 1, le 

 double de tout résidu inférieur à -} sera un résidu pair inférieur à n, e.l 

 qu'au contraire ce double sera un non-résidu, si (f) = — 1; d'où l'on 

 conclut qu'en désignant par // le nombre des résidus et par li' le nom- 

 bre des non-résidus quadratiques de n inférieurs à ^, on aura toujours 

 /■ — g ^ {^-) [Il — //'). Or, la différence h — /(' est égale au reste qu'on 



'1-1 n-\ / 1 \ "— 



obtient en divisant par n la somme I + 2 ' + ô ' + ... -|- P^ ' , et 

 peut se calculer, comme l'a montré M. Cauchy, au moyen des nombres 

 de BernouUi. 11 résulte aussi de la première des équations (29) que 

 celte différence sera multiple de 5 pour tous les nombres n = Sic + 3. 

 On a aussi évidemment 



, ,, I ^x=:i=l . 2a;"-?T 



