DES RESIDUS QUADRATIQUES. 19 



D'après une autre formule de I\I. Cauchy, si l'on représente par p tous 

 les nombres premiers qui sont résidus quadratiques de n, et par p' ceux 

 qui sont non-résidus, on aura 



^^(/<-/0 = fl.(.-^)"'(i-.^)"'. 



le signe de multiplication n, s' étendant à tous les p et à tous les p' (voyez 

 Comptes rendus, etc., tom. X, p. 720) : et par cette équation on voit que 

 la différence /; — h' sera toujours positive. La seconde des (28) donne 

 1 tang. ^ = — (h — II') ^n , d'où 



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2rT 2» /' 1 



I tang. = n I — - 



n ir \ p 



L'un des nombres /;, h' sera pair et l'autre impair, n étant Sk-{-l ou 

 Sk-\- 5, car h -j-/t' = -^— est un nombre impair. Lorsqu'on sait lequel 

 est pair ou impair , on peut en tirer une conséquence pour le théorème 

 de Wilson. En effet, il résulte de ce théorème que (1.2. 5.... —^j — 1 

 et par suite l'un des nombres 



n — I n ^ I 

 i. 2. 3 ... I , I. 2. 5 ... ^ 1- I 



est divisible par n ; si le premier est divisible, il y aura parmi les entiers 

 1,2,5, ... -^— un nombre pair de non-résidus quadratiques de n, 

 car la différence 1. 2. 5 ...-—— p — 1 sera aussi divisible par n; si 

 le second est divisible, la somme ( 1. 2. 5 ... —^] * + 1 sera divisible 

 aussi, et par conséquent le nombre des non-résidus facteurs du produit 

 1.2. 5....— p sera impair. Donc le nombre n est diviseur de 1. 2. 



~) ... —^ \- \ , si II est pair, /(' impair, et de 1. 2. 3 ... — 1 , si li 



est impair, li' pair. 



On peut démontrer les formules (26), (27) par une autre méthode, 

 dont je vais faire une application en déterminant la somme ï'~ * -, jTfi 



