20 SUR LA THEORIE 



dans le cas où n désigne un nombre premier de la forme 4/c -[- 1 • E" 

 différentiant par rapport à x l'équation connue 



' = '" sin. ^^' ic sin. ^ a; 



2 sin. ix = — , 



' = • sin. i X 



i = m msm.i!!!±.' 



msin.iii^ X sin. ^ x 



on trouve 



2 i COS. ix = ï , - . 



'=' 2sin. ix ^siii. 4 x 



„ < ,. . n — t -Ijtz^ . j. . .11 



dou, taisant m = — r— , x =^ , et supposant ; un entier non divisible 



par n, on tire 



puisque n est de la forme U + 1 : donc 



---- / ' 



"= = I \ i! COS. ^^^ 



-2/\ /-2 



Or, on a -1 = ") - , et nommant H la somme des résidus quadra- 



nl \n/ \n. 



tiques de n inférieurs à-, II' celle des non -résidus inférieurs aussi à 

 -, il est visible que la somme des valeurs de i -] pour <= i , 2, ... — ^ 

 sera exprimée par H — II' : d'ailleurs la somme des valeurs de i sera 



ni 1 



— -— Nous en conclurons 



o 



(32) r:;^-— :.= ^--4U (H-H')l/«. 



- - ' (cos. 1^) 2 \nl 



n supposant x = , m et ; deux entiers non divisibles par », on 



eût trouvé 



t!lJ I M* 1 Uni 



■■=^ (cos.ï^-)' 2 



n 



On a, en général , — -- — 1 = tans.'^ m : donc cette formule donnera 



° C0S.2 y r> T 



<5'^' 2__^ ('""g-^rJ = ^--^— ) (H-H')i/... 



