DES RESIDUS QUADRATIQUES. 21 



MI. 



Faisons dans la formule (19) b^n, a=mx, et successivement x=- 1, 

 3, o, ... — ^ : on pourra en tirer une expression de la somme des restes 

 obtenus en divisant par « les nombres m, 2m, 3)?î, ... —^ m; désignons 

 cette somme par M. Supposant m pair, on trouve 



1 - sin. ■ = — i tang. — - : 



x=i „ " 2n 



au moyen de cette valeur, on aura 



n{n — i) ,■ = — mU iV 



M = -\- i z. - tane;. col. — 



Soit Hi, le nombre des restes qui surpasseront -, M, leur somme : la 

 somme des restes inférieurs à - sera M — Mj ; de plus, en retranchant 

 de n chacun des m^ restes supérieurs à -, on obtiendra des nombres in- 

 férieurs à g, dont la somme sera ■m^n- — M,, et qui, étant réunis aux au- 

 très restes, compléteront la suite 1, 2, 3, ... — ^ : d'où il résulte 



(M — MJ H- (m, n — M,) =I-f-2 + 5-+-...-t- = , 



et par suite 



)/- — I (n — I )"^ i"=— w//t it 



m, n = 1- 2M, - M = 2M. - il - tang. col. - , 



en substituant la valeur de M. On voit donc que si l'on pose 



()i — I)'-' ^1='^ nilT ir 



(3a) ;. = -+- i 2 * lani;. fot. — , 



les nombres ?», et 'A seront tous deux pairs ou tous deux impairs. Or, 

 suivant un lemrae de M. Gauss, on a (-) ^( — 1) ' si n est un nombre 

 premier impair et m un entier non divisible par )i : on aura donc aussi 

 f J = ( — 1)*, et par conséquent le nombre X, donné par la formule (55), 



