22 SUR LA THEORIE 



déterminera le caractère quadratique du nombre pair m par rapport au 

 nombre premier w. 



Si le nombre m, dont on demande le caractère quadratique est im- 

 pair, on n'aura qu'à remplacer m par 4m dans la formule (35), puisque 



(t) = 0- 



Prenant m = 2 , d vient tang. -— cot. - = 1 , et par conséquent 



8 "2 8 \ " / 



A l'aide de la formule (19) on peut démontrer deux autres lemmes . 

 qui, avec le précédent, ont été employés par M. Gauss dans ses troisième 

 et cinquième démonstrations de la loi de réciprocité. 



Soient, en effet, m et n deux nombres impairs et premiers entre eux, 

 et faisons b = mn, a = )iix -\- ny : nous aurons 



'i.iaz H-tx 'Httii 'ù.iTti 2iVx 



sin. = sin. COS. — - ■+- sin. — ^ cos. , 



b n m m n 



et partant 



mn i = ""'~' SîVx 2jV!/ /.t ; = '^^^^ '^i'^y 'Httx iV 



r = — • — 2 * sin. COS. cot. 2 sin. cos. cot. 



2 ' = < n m mn ' = ' m n mn 



Soient aussi , pour abréger, p = — — , q = — p , et donnons a x toutes 

 les valeurs 1 , 2, ô, ... ^, à y toutes les valeurs 1 , 2, 5, p : la somme des 

 valeurs de cos. ^^ sera p si i est divisible par m, et — .' dans le cas 



contraire: de même, la somme des valeurs de cos. sera </ si / est di- 



' ' Il 



visible par n, et — ^ dans le cas contraire. Or, i, s'étendant de 1 à 

 -— — = mq + p = np -\- q, aura q valeurs divisibles par m, et p valeurs 

 divisibles par n, et on pourra représenter les premières par mi, les der- 

 nières par ni. Désignant, de plus, par 2/- la somme des pq valeurs de r, 

 on tirera de l'équation précédente 



mn x = , ,_îiz.' . -2/T.r iV y = p .^•jlTzi . 2iV// ir 



Ir ^= — no -4- i z z " sin. col ^ i Z 2 * sin. col. — 



2 x=t 1=1 „ ,„n i/=i 1 = 1 m mn 



m „^=9 _' = 9 . 2i»iPTX .T H y = ? J — r . iina-ri ir 



— x 2 2. sm. cot. 2 2. sin. col. — ■ 



2 1 = 1 1=1 ij ,1 o j = i 1 = 1 m m 



