DES RESIDUS QUADRATIQUES. 25 



Maintenant il est clair que si l'on suppose o < b, le reste de la divi- 

 sion de a par /* sera a; d'où il suit qu'en faisant dans la formule (19) 

 b = mn, a = mx, et sommant de a; = 1 à a; = ^, on aura 



Ou obtient d'une manière semblable 



'J=v mil y=p ,_'ï!:=l ■Uti/ ^v 



2 «1/ = — V — 2 2 " sin. — '— cot. 



y=i 2 î/ = i '■=< m mn 



D'ailleurs, si M désigne la somme des restes qu'on obtient en divisant 

 par )( les nombres inx = m, 2m, 5m, ... qm, et si N est la somme des 

 restes qu'on obtient en divisant par m les nombres mj = n, 2n, on, ... pu, 

 la formule (19) donnera 



n ^ = 1 „ 



M = - 9 - 2 2 



2 ■i: = i 



»i y = v 



N = - p-2 2 



2 ï = 



Au moyen de ces équations , on réduira l'expression de 2r à 



mn i mil ^ = '/ \ Imn Ji — f 



2'" = — PQ -*- i \ — Q — 2 mx -1- i — • p — 2 ny 



m H \ n / m 



x=r/ y^='P 



ou, remplaçant les sommes 2 ma;, 2 _ ny par leurs valeurs, et rédui- 

 sant, 



0(0 -H I ) p(p -\- \) 



(30) .... 22r = mnpq — m n 1- nM -i- nN. 



Parmi les restes qui forment la somme M , distinguons ceux qui sur- 

 passent 7, et nommons m, leur nombre, M, leur somme : nous aurons, 

 comme ci-dessus, 



n^ — \ 7(g-i-t) ^. q(q-¥\) 

 (M^M,) -+- (m,n — M,) = = . ■■ OU M = 2M, — »i,n -*- -^^^-^^ 



Pareillement, si n, est le nombre et N, la somme de ceux des restes for- 



