24 SUR LA THEORIE 



niaiU la somme N qui surj)assent p, nous aurons N = 2N, — n,m + '^ , 



el substituant ces valeurs, l'équation (56) deviendra 



22r = innpf] -4- iitiM, — uiinii , -+- i!«N, — vmn, , 



d'où il résulte que le nombre mnpq — mmn, - — mnn^ est pair. Donc le 

 nombre pq — m, — », sera pair aussi, puisque mn est impair : donc les 

 deux nombres //(, + «, et pq seront tous deux pairs ou tous deux im- 

 pairs, ce qui est le lemme dont M. Gauss a fait usage dans le tom. IV des 

 Com. soc. Golting. rccenl. En le combinant avec les équations (-'] = ( — 1)'"', 

 (— I = ( — 1)"'. lorsque ni et n sont premiers, on a tout de suite la loi 

 de réciprocité (-) (") = ( — 1 p. 



n/ \m 



Représentons enfin par P la somme des quotients de mx divisé par n, 

 X étant = 1 , 2, 3, ... 7, et par Q la somme des quotients de mj divisé 

 par 1)1, y étant = 1, 2, 3, ... p : on aura 



M = 2 MX — ))P, N = 2 )iy — m 0. 



.c=l !/=!■' 



D'ailleurs vix -\- nij sera toujours < mn, et par conséquent le reste ;■ sera 

 = mx -\- iiji , d'où l'on conclut 



Ir = 2 ('"■'■ -I- "!/) = P 2 _ ni3' -(- 7 2 _ iiy. 



On pourra donc transformer l'équation (36) en 



{^p — m) 2 _ mx -h {''if/ — n) J, ny = nmpq — mnV — hîjjQ — m — n — , 



OU, mettant les valeurs des sommes indiquées dans le premier membre, 

 remplaçant 2/j — m et 2r/ — n par — 1 , réduisant, et divisant par mn, en 

 P + Q ^ pq. Cette formule exprime un autre lemme de M. Gauss, qu'il 

 a démontré dans le tome XVI des anciennes CommonUUiones aoc. Golting., 

 et que M. Schaar a rappelé dans son mémoire du 5 août 18-48 (Mém. 

 couronnés, etc, par l'Académie roy. de Belgique, tom. XXIII). 



La formule (19) peut fournir plusieurs autres résultats. En suivant la 



