DES RESIDUS QUADRATIQUES. 25 



même marche, on pourra faire b = mn, a = mx- + ny-, p = —^ — , 

 7 = —^r~y a;= 1 , 2, ...(/,?/ ^ 1, 2, ... p .- or, si l'on suppose que m et « 

 soient deux nombres premiers de la forme âk + 5, et que m est un résidu 

 quadratique de n, en nommant R la somme des résidus quadratiques de 

 m inférieurs à m, et Rj la somme des entiers inférieurs à mn qui sont 

 résidus de n et non-résidus de m, on trouvera 



pcj 



Dans le même cas , en nommant f le nombre des résidus pairs et (j le 

 nombre des résidus impairs de »< inférieurs à m, en distinguant pareille- 

 ment les nombres pairs et les impairs parmi les entiers inférieurs à mn , 

 résidus de n et non-résidus de m, et nommant f, le nombre des pairs, y, 

 le nombre des impairs, on tirera de la dernière des formules (21) 



f-'J = - (f-'J,)- 



Si maintenant on suppose que m est un nombre premier de la forme 

 4^ + 3 , et H un nombre premier de la forme Ak-\- i, et que R désigne 

 la somme des résidus quadratiques de m inférieurs à m, et r, représente 

 tous les entiers inférieurs à mn qui sont résidus des deux nombres m et n, 

 ou non-résidus de l'un et de l'autre, la formule (19) donnera les résul- 

 tats suivants : dans le cas, où m sera un résidu de n, on aura 



r.;r / /2R, \ 



Z cot. ^ — 2 Vmti P9 . 



mn \ mn 1 



en nommant R, la somme des résidus de m et n inférieurs à mn; dans le 

 tas où m au contraire sera un non-résidu de n, on aura 



'v-^ ../ — r^n, 2R 



^., — rar., 2R 



— IV MU Jiq H- /) 



L mil m 



R, désignant la somme des non-résidus de m et n inférieurs à mn. Dans 

 ces deux fornmles le signe 2 s'étend à toutes les valeurs de r,. 

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