26 SUR LA THEORIE 



VIU. 



Les formules que nous avons démontrées pour des nombres premiers 

 peuvent être étendues à des nombres composés. Je vais en donner un 

 exemple sur la première des formules (26). 



Soit n un nombre impair, non divisible par des carrés : les entiers 

 premiers à n et inférieurs à n vérifieront l'une ou l'autre des conditions 

 [-1 = + 1 , (-] = — 1 5 et en désignant par r ceux qui vérifient la pre- 

 mière, par r' ceux qui vérifient la seconde, et supposant »; de la forme 

 ■4/r + 5, on aura la somme alternée, étendue à tous les r et les r'. 



2r,r iîrV ,— 



(37) 2 sin. — — 2 sin. = Vu. 



n n 



Si H est de la forme 4/i + 1 , en posant b = 4m , on pourra partager 

 en deux groupes les entiers premiers à 6 et inférieurs à b, de manière que 

 les nombres d'un groupe étant désignés par r, et les autres par /•', l'é- 

 quation (57) ait lieu pour h, c'est-à-dire en y remplaçant n par b. De plus, 

 les mêmes choses subsisteront, quelle que soit la forme de n, si l'on 

 prend />=8h. Ces propositions ont été démontrées par M. Cauchy dans 

 le tom. XVII des Mémoires de l'Institut. 



Supposons maintenant, que dans la formule (19) la valeur b soit, sui- 

 vant ces diverses hypothèses, n, An, ou Sn , et que celle de a soit /• ou r' : 

 la formule (19), dans laquelle on remplacera r par n, puisque o < b, 

 peut être mise sous la forme 



et nous en déduirons 



11) — a) = — -2 1 sin. cot. — , 



' '=16 6 



= ''■ / ., . -2irz 



2r — 2 (6 — r) =— 2 2._| I 2 sin. — I cot. 



2r' - 2 (6- r') = — 2 2 I 2 sin. — ^ 1 col. - • 

 ' ' = ' \ 6/6 



31ais remarquons que le nombre b — ;■ sera l'un des /', et le nombre 



