DES RESIDUS QUADRATIQUES. 27 



b — >■', l'un des r; remarquons aussi, que si dans l'équation (37) on sub- 

 stitue ir, ir' à r, >•', le second membre deviendra f-j ^n, ou zéro, sui- 

 vant que i sera ou ne sera pas premier à n. D'après ces remarques, en 

 combinant par soustraction les deux dernières équations, et représentant 

 par R la somme des r, par R' la somme des »•', on obtiendra 



U — R' = - 1 {-] cot. -• Vb, 

 \bl b 



où le signe 1 doit s'étendre à tous les nombres i compris dans la suite 

 1, 2, 5, ...<(' et premiers à b. On peut étendre ce signe à tous les nombres 

 1, 2, 5, ... b, qui seront premiers à b, en doublant le premier membre, car 

 on aura 



b — i\ li\ {b-i)7r iV 

 = — -, col. ; = — col. -— , 



b I \bl b b 



et par suite 



Mais on aura aussi 



b — i\ (b — i)z I i \ ir 



col. ^ - col. — • 



b I b \bl b 



r \ r X I r \ j-t 



— col. — = - col. — 

 b I b \bj b 



puisqu'on peut supposer r' =b — ;■; en outre (-1 = 1. On pourra donc 

 mettre 22 cot. -r- ^ ^^ place de 2 ( - j cot. -- , et substituant n à b, il vien- 

 dra 



(38) 2 cot. — = — ^ (R' — R)- 



»t Vn 



.l'ajoule que le symbole (-1 représente dans ce qui précède la quantité 

 + 1 lorsque le nombre i appartient au groupe des r, et la quantité 

 — 1 lorsqu'il appartient au groupe des r' , et je renvoie au mémoire de 

 M. Caucliy pour les propositions que j'ai rappelées ci-dessus. 



La formule (58) .se réduit à la première des (26), si « est un nombre 

 premier U + 5, car alors R-j-R' = 1 + 2 -f 5 -f ... + («— 1) = !±zlt^ 



d OÙ R '_ R = -i— ^ _ 2R. 



