28 SUR LA THEORIE 



Dans la même formule (58) on peut supposer que n soit le produit de 

 deux nombres premiers, l'un de la forme ilc + 5, et l'autre de la forme 

 Ak -[- 1 , et alors r désignera les mêmes nombres que nous avons repré- 

 sentés par r, dans les deux dernières formules du numéro précédent. On 

 tirera donc d'autres équations de la comparaison de ces formules avec (58). 



On peut trouver une autre expression de 1 cot. — • 



Nommons « une racine primitive de l'équation x" — 1 = o, et X le pro- 

 duit de tous les binômes x — «', x — a', formés avec toutes les valeurs 

 de r et r' : d'après un théorème de M. Gauss, généralisé par M. Cauchy, 

 on aura 



(59) 4X = Y-: + hZ^, 



où X, Y, Z seront des fonctions entières de x à coefficients entiers, n 

 étant le même nombre que dans la formule (58). (Voyez le tome X des 

 Comptes remiiis). On aura, de plus, 



(■iO) X = n(,r — j:') (a: — a'-), 



et en déterminant d'une manière convenable le signe du radical 



(41) .... y -\- ZV^ =<in(x — ^.'), Y —Z»/^ = 2U(J- — !>;■"■) : 



les signes de multiplication n s'appliquent à tous les /■ ou /•'. 

 Ditférentions par rapport à x les équations (11) : il vient 



rfV rfz . . 1 (l\ rfZ . / , , ^1 



d.r dx X — v' dx dx x — a'' 



Maintenant supposons x = l, remplaçons r' par n — r, et désignons 

 par X le nombre des ?', c'est-à-dire la moitié du nombre des entiers pre- 

 miers à n et inférieurs à n. Nous aurons 



n{l-'/') = n.a- (^.'■- 1) = {-\)Ka-".n{i—o^'), 1- - = - 2 r-^, . 



1 — v. 1 — y- 



et a~^ sera = 1, car U, somme des r, sera divisible par n . donc il ré- 



