30 SUR LA THEORIE 



même substituer 



Y , dY L . d'L 

 a — , et ;i — , 



X — \ dx X — I dx 



car l'équation (39) donne Y = o, Z= =t 2, lorsque X = k, et Y = ± 2, 

 Z = 0, lorsque X = 1. 



En rapprochant ce résultat avec ceux du n° VI, on conclura que si n 

 est nombre premier %k + 5 ou 8/î + 7 , la différence entre le nombre 

 des résidus et le nombre des non-résidus quadratiques de m inférieurs à 

 |n, sera égale pour »i = 8A: -j- 7, et triple pour ;i = 8/i + 3, de la valeur 

 numérique de - correspondante à a;== 1. 



IX. 



Soit n un nombre premier de la forme 4/i; + 5 , et faisons x = ^ — 1 

 dans les polynômes X, Y, Z de l'équation (39) : soit y + î/i ^ — 1 ce que 

 deviendra Y, et 2 -1- 2, ^ — 1 ce qui deviendra Z. 



Posant 



^ = ,î»^^, .^'^V-\ on a ^_«'=,(^ + '^)»^=^. 2V/=T.sin.(l-^), 



\ i u I 



ou 



i i ni 



et de là 



n {! — «') ==2"^. e^^-\ f-T-'^'^-'. n sin. 



\ 4 n 



étendant les n aux -^— valeurs de r, faisons pour abréger 



K = 2T-. e 



\4 ni 



K sera une quantité réelle, car e" ' = ± 1, R étant multiple de n. 

 et en substituant dans la formule (41), il viendra 



«— 1 j, — 



