DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. ■ 31 



Maintenant, si n est de la forme 8i -p 3: on aura 



et par suite la comparaison des parties réelles et imaginaires donnera 



'/ - 'y^= (- 1 )■■ ^ . .'/. + ' ^"- - ' - "^ i^ • 



d'où — y -\- z, vn ^ y^ -\- % ^n. Mais y, ?/, , z, z, sont supposés entiers : 

 donc 



:'/-~-l/S^(-i)-^- 



Si » est, au contraire, de la forme 8; + ^i on aura 



^-•^^V- ^ ^-(i+^)^V^^ Ji+^\_ ^-(.•+.)xl/^ __(_,). ^ 



et de même la comparaison des parties réelles et des parties imaginaires 

 donnera 



d'où )/ — z, ^n = )/| + 2 ^n, par conséquent 



y,=y. z,=: — z. Y = ;/(l -t- l/^), Z = i(l-l/^), 



— K 



y -,. 2|/n = _ (_ I)' —=.■ 



On a, d'ailleurs, 



T — I V/— 1 — 1 



donc l'équation (39), par la substitution des valeurs précédentes, de- 

 viendra 



t J/'^ = y- ( 1 — ^^^ )'^ -+- n^'^ ( 1 H- l^^ )■' . 

 dans le cas de » ^ 8/ -\- 3, c'est-à-dire 



F'O) '/ - HZ-' == - 2, 



