32 SUR LA THEORIE 



et 



OU bien 



(47) 



dans celui de h = 8i + 7. Remettant la valeur de K, et abstraction faite 

 des signes de y et z, on trouve aussi 



(48) y -i- z\/n ^ 'i'. n sin. (y — ■ 



qui , par la séparation des termes rationnels et irrationnels , suffit à dé- 

 terminer y et z. Ainsi la possibilité des équations (46) et (47), en nombres 

 entiers, est démontrée, et la formule (48) en donne une solution. 



Si l'on suppose que n soit de l'une des formes Al: -\- 1, 4(4A -)- 5), 

 8 (2/i; + 1 ), et n'ait aucun diviseur carré impair, au lieu des formules (39) 

 et (41), on aura les suivantes 



(49) ...... 4X = Y'^ — »^Z^ Y -t- ZkT=2n(x — a'), 



dont on peut faire des applications semblables. 



En effet, concevons que n soit un nombre premier 4/. + 1 , et posons 



j;^l, a = e'^^~' : on aura X= = n, et désignant par //, ; les 



valeurs correspondantes de Y, Z, on obtiendra parla première des équa- 

 tions (49) 



in = 1/^ — nz'^ , 



d'où l'on voit que j/ et z étant des nombres entiers, ij sera divisible par 

 u; remplaçant donc y par ny, il viendra 



(80) nif — z^ = 4. 



En même temps, la deuxième équation (49) donnera ny -\- : ^n 

 = 2 n ( 1 — /) , et on trouvera 



V 

 rrr '^ TT 



11 sin — = ± 2 '' ■ n sin. — , 



