DES RESIDUS QUADRATIQUES. 33 



d'où 



y'n (y Vu -t- i) ^ 2 ^ . Il sin. — , 



n 



supprimant le double signe, car les signes de 1/ et i sont ici indifférents. 

 Or, Il étant de la forme 4/, + 1, à tout résidu quadratique r de n, qui 

 soit inférieur à -, il correspondra un résidu quadratique n — r supérieur 

 a - , et on aura 



r-z . in — r)7r . /v 



sin. — • sin. =: sm.- — : 



// n n 



on pourra donc ne considérer que les valeurs de /• inférieures à |h, et 

 alors la formule précédente deviendra 



(ÔIJ V/>j (1/ 1/« + z) = 2 - . n sin. 



2 '1. 



Cette formule fournira une solution en nombres entiers, de l'équation 

 indéterminée (50), à l'aide de fonctions circulaires. 



Ces solutions trigonométriques des équations (iC) et (50) ont été don- 

 nées sans démonstration par Jacobi, dans les Comptes rendus de l'Acadé- 

 mie de Berlin {Opusc. matliémat., vol. I, pag. 324). 



Si dans l'équation (50), les nombres y et z sont pairs, en faisant tj^2v, 

 2^2», on obtiendra ifi — nv^ = — 1. Jacobi a remarqué que lorsque 

 ces nombres sont impairs, il suffit d'élever l'équation (51) au cube pour 

 en tirer la solution de l'autre «t- — hî;2:= — 1. Posons, en effet, 



{z -i- y y/n)^ == u -t- II l/)i, 



d'où 



Il = 2 (s^ -t- 5»î/'^), v = y [ùz^ -4- ny'^); 



mais l'équation (50) donne 



et :'^ -|- 5, z- + 1 seront pairs; on voit donc que u et v seront divisibles 

 par 8. D'ailleurs, nous aurons 



{: — y y^t )5 = « — V \^n , 

 Tome XXV. 5 



