34 SUR LA THEORIE 



et par suite 



((- — iw- = {:'^ — m/^)'^ = — -P : 



remplaçant u et v par Su et 8)', nous en déduirons u^ — nv' = — 1. 

 Posons encore (m + v \^)- = ii' -f- v' V/« : il viendra 



On peut transformer d'une manière semblable les équations (46) et (47) : 

 dans ces équations ij et ; seront impairs , et posant 



(»/ -4- ^ l/j» )* = U -+- V Vn, on trouvera îi = if- -t- nz- . v = iijz , 



ce qui montre que u et v seront pairs ; on aura , de plus , 



,y-2 — nz- = rp 2 , u — nv'^ ^ (!/" — nz'^y^ = 4-, 



et faisant u= 2h', v = ''2v', on en conclura «'" — nv'- = 1. 



Ainsi les formules obtenues donnent la solution de l'équation célèbre 

 u^ = nv'^ + 1 , dans tous les cas, oii n sera nombre premier impair, qu'il 

 appartienne à l'une ou à l'autre des formes Ak zt I . 



Je vais démontrer un autre théorème, énoncé au même endroit par 

 Jacobi, et qui se rapporte aussi à cette théorie. 



Soit n le produit de deux nombres premiers /», q de la forme 4/.: + 5; 

 soient a et a" respectivement deux racines primitives des équations 

 a;'' — 1=0, et xi — l = o, et représentons par r' les résidus quadratiques 

 de p inférieurs à p, et par r" les résidus quadratiques de q inférieurs à q: 

 on pourra tirer toutes les valeurs de r des deux équations œ' = a"" a'"'", 

 a = a''""' a"""", et les formules (49) deviendront 



(53) ...... Y + Zl/p7 = 2ii (.r — /'/'■") (x — *'"'' jc""'"'). 



Posons iT = 1, et nommons ij, z, les valeurs correspondantes de Y, Z; 



