DES RESIDUS QUADRATIQUES. m 



prenons, en outre, a = e' , «' =e' : nous aurons 



= [-Mt*t)]'' 



et par suite 



|p-l) (;-l) ■ ,j.'^ j..._ > 



(34) . . . y- - pqz'^ = -4 , tj -^ z V pq = 2.2 * . n sin.'-» — ^ h ^ , 



\ p q I 



dont la deuxième fournira des valeurs entières de y et 3 satisfaisant à la 

 première. Si j/ et s sont pairs, on fera ij = 2u, z = 2v; si y et i sont im- 

 pairs, on fera {y + ; ^pq)^ = 8(u + v ^pq) , et, dans tous les cas, on 

 obtiendra une solution de l'équation u- = pqv^ + 1 en nombres entiers. 



Remarquons que, dans cette équation, v sera pair et u impair; car si 

 V était impair, le binôme pqv° + 1 serait de la forme ik + 2 , qui ne peut 

 convenir à un carré u-. Il s'ensuit que, dans l'équation ?/- — pqz^ = A, le 

 nombre y, s'il n'est pas impair, sera double d'uu impair. 



Piemarquons aussi que les deux équations 



Yh-zv/^ = o, y — ZJ/^ = o, 



n'ayant aucune racine réelle, les polynômes X + Z ^pq, Y — Z ^pq 

 demeureront positifs pour toute valeur réelle de a;, si l'on suppose positif, 

 ce qui est permis, le coefficient de la plus haute puissance de a; en Y : 

 donc leur demi-somme Y demeurera pareillement positive. D'oîi l'on con- 

 clut que la valeur y de \ correspondante à a;^ 1 sera positive. 



Soient maintenant y' et z' les valeurs de Y et Z correspondantes iix= — 1: 

 (/' sera positif, et des formules (49), (52), on tirera 



(.53) y'^ — pqz"^ = 4 , y' -^- z' \/pq = 2 il ( 1 h- j/) , 



le nombre des valeurs de r étant pair. Mais on a 



y -t- z \/pq = 2 n ( I — - a' ) , 



et multipliant cette équation par la deuxième des (55), on obtient 



(!/• H- z-]/]iq] (y -. ; V^) = 4 n (1— «'■•)■ 



