DES RESIDUS QUADRATIQUES. 37 



donc, en séparant les parties réelles et imaginaires, on conclura 



et //, + :, ^^pq = o, c'est-à-dire ij^ = o, 2, = o, car ;/, et j, comme y.^ et 

 Z.2 sont supposés entiers ou nuls. Ainsi y., ^ — ^1 et z.;, ^ — 1 seront les 

 valeurs de Y et Z correspondantes à a; = \^ — 1, et en les substituant 

 dans l'équation (52), on trouvera : 



(5") yî — i^i^l = ^■ 



Cela posé, soit X = ^{p — 1) [q — 1), et représentons par 



P.,!-'' — P,a,-^~' -+- P,x^~- — ... + P;^ 



le polinôme Y + Z ^pq, ou le produit 2u{x — /) : tout coefficient P, 

 sera un nombre entier, égal au double de la somme des produits formés 

 en combinant i à i toutes les valeurs de a. Chacune de ces combinaisons 

 peut s'obtenir en divisant le produit de toutes les valeurs de a par une 

 combinaison des mêmes valeurs prises 1 — / à 1 — /, ou bien en le mul- 

 tipliant par une combinaison semblable, car «"'' ou aJ"'^'' prendra les mê- 

 mes valeurs que «'; d'ailleurs le produit de toutes les valeurs de a est 1, 

 la somme des valeurs de r étant divisible par pq : donc chaque combinai- 

 son de i valeurs de a sera égale à une combinaison de 1 — i valeurs, et 

 la somme des combinaisons i à i sera égale à la somme des combinaisons 

 l — i à 1 — i. On aura partant P, = P;^_,, c'est-à-dire que dans les poly- 

 nômes V et Z, les coefficients des termes également distants des extrêmes 

 seront égaux. 



Soit, dans le polynôme Y, A la somme des coefficients des puissances 

 paires de x, B la somme des coefficients des puissances impaires, B, la 

 sonmie des coefficients des puissances dont les exposants seront de la forme 

 4/.- -j- 1 , Bj celle des coefficients des puissances dont les exposants seront 

 de la forme 4/i -f- 3 : il est évident qu'on aura 



y = A H- li , //■ = A — B, lî = B, -I- l{, , y, = B, — B, , 



