38 SUR LA THEORIE 



d'où 



;/ = y' + -2B, B = y, -+- 2B.. 



De plus, le terme du milieu, étant affecté de la puissance impaire a:^^, 

 fera partie de la somme B, et comme 1 est de la forme Ak-{- 2, les nom- 

 bres i et l — i seront tous deux pairs ou impairs, tous deux de la forme 

 ■ik -|- 1 ou de la forme 4/i: + 5 : donc A sera toujours un nombre pair , B 

 sei'a pair ou impair, comme le coefficient de x^'', et lorsque ce coefficient 

 sera pair, B, et B., seront pairs aussi. 



Supposons premièrement que le coefficient de x^^^ soit impair; B, rj et 

 y' seront impairs, la forme de i/' sera 8/<; — 1, celle de 2B sera 4A: + 2, 

 et par conséquent celle de y = y' + 2B sera 4k + 1. 



Supposons, en second lieu, que le coefficient de a;^^ soit pair; B„ et ?/^ 

 seront pairs, et comme y., satisfait à l'équation (57), il sera double d'un 

 nombre impair; donc y., + 2B^ ou B, sera aussi double d'un impair. Dans 

 la même hypothèse y' sera pair, et partant de la forme 2 (iG/c + 1)? I^ 

 pouvant se réduire à zéro ; donc y sera de la forme 2{ik-{- 2) , en vertu 

 de l'équation ?/ == i/' -f- 2B , et puisque B est de la forme ik + 2. 



Concluons que, dans les équations (5-4), si y est impair, sa forme sera 

 Âk -\- l; s'il est impair, sa forme sera 2 [Ak + o). 



Cela prouve, d'abord, qu'on ne peut avoir ?/= 2, 2 = 0, et qu'ainsi 

 on aura bien une solution en nombres entiers différents de zéro. Mais on 

 peut en tirer une autre conséquence. 



L'équation y- — pqz- = 4 donne [y + 2) [y — 2) = pqz^, et les facteurs 

 j/ + 2 , y — 2 , dont la différence est 4 , ne peuvent avoir de diviseur com- 

 mun impair. Or, s\ y = âk -{- 1 , ces facteurs seront tous les deux de la 

 forme 4i + 3 et premiers entre eux : donc, ayant pris deux nombres u 

 et V, dont le produit soit égal à 2, et premiers entre eux, l'un des mêmes 

 facteurs sera égal à pifi et l'autre à qv'^. Posons 



Vq 



