DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. 59 



Substituant cette valeur dans la deuxième (54), et extrayant des deux 

 membres la racine carrée, on aura 



,- .- ç::!, (ti /rV ■ r"w\ 



(39) H »//> H- t. Kç = 2. 2 - - . 11 sm. — n ■ 



\ /) q I 



Si ?/ est pair, 2 sera pair aussi, et posant ij = 2{Ak + 5) , ; = 2/.', il 

 viendra 8(/i;+ 1) (S/c + l) = pqk'"^; donc k'- sera divisible par 8, k' par 

 4 : soit k' = M" , d'où 



(A + 1) (2A + 1) = '-lpqk'-^\ 



de sorte que A" + 1 sera divisible par 2. Faisons A: -j- 1 = 2/c, : on aura 

 »/=2{8/t, — 1), i/-4-'2 = t6/t,, î/ — 2 = 4(4A,— I), 



et ces deux derniers nombres auront 4 pour commun diviseur. 



Soit donc décomposé z en deux facteurs, dont le plus grand diviseur 

 commun soit 2 , faisant ; = iiv : le nombre ij — 2 , diviseur de pqii^v^, étant 

 de la forme 4 (4/i:, — 1 ) , sera nécessairement égal à l'un des deux pifi, qv"^, 

 et, par conséquent, l'autre facteur y + 2 sera aussi égal à l'un de ces 

 nombres. On posera donc y + 2 = pu-, y — 2 = qv-, et on en déduira, 

 comme ci-dessus, les équations (58) et (59). 



L'équation (59) fournit donc, dans tous les cas, une solution de l'équa- 

 tion indéterminée (58). C'est le théorème de .Jacobi. 



En échangeant pifi et qv- entre eux, on change le signe du second mem- 

 bie de l'équation (58). Pour décider, lequel des deux signes doit avoir lieu , 

 il faut observer que l'équation (58) donne 



i^pu^ (mod. q), 4 EE= — qv'^ (mod. p) : 



4 étant carré, il s'ensuit que pu- doit être un résidu quadratique de q, 

 et — qv-, un résidu quadratique de p; donc p doit être aussi un résidu 

 quadratique de 7, et — q un résidu quadratique de p, ou q un non-résidu 

 quadratique de /), car p est de la forme 4/r -\- ô. Au contraire, l'équation 

 pu- — qv- ^= i donnerait q résidu de p et p non-résidu de 7. On con- 

 clura de cette observation que le signe cherché dépend du carucicre quadra- 

 tique des nombres p, q, et que l'équation (58) aura lieu, si l'on choisit pour 



