40 SUR LA THÉORIE 



p celui des deux nombres qui est résidu quadratique de l'autre : cette 

 condition a été aussi indiquée par Jacobi. 



On peut, en même temps, en conclure, que, p et 7 étant deux nombres 

 premiers de la forme Ak + 3, si p est un résidu quadratique de (/, q sera 

 un non-résidu de p, et vice versa; ce qui est un cas de la loi de réciprocité. 



Jacobi remarque que si, dans l'équation (S9), u et v sont impairs, il 

 suffit de l'élévation au cube pour en déduire la solution de l'autre équation 



ptl\ — qv] = I. 



Posons, en effet, 



(î( l^p ■+■ V Vqf- = S (h, Vp -)- i\ Vq) , 



c'est-à-dire 



8!(, = /)»' -t- aquv'^ , 8t), ^ 5pu-î; -4- qv^\ 



substituant pu- = qv- -\- 4, et divisant par 4-, on obtient 



2m, = !( ( r/ii- -t- d ) , 2t>, ^ y ( çu- -t- ô ) , 



et qv^ -{- i , qv^-\-o étant deux nombres pairs, on voit que «, el r, se- 

 ront entiers. Or, 



pu-, — qv\ = - (pifi — qv'^f = — = I. 



XI. 



J'ai dit (§ YIIl) que la fonction X, résultant de la multiplication de 

 tous les binômes x — « formés avec les racines primitives de l'équation 

 x" — 1 = 0, n étant un nombre composé, se réduit à 1 lorsqu'on suppose 

 x= 1 : en voici la démonstration. 



Désignons par a^ les diviseurs premiers différents du nombre «, par 

 «, leurs combinaisons i à i, faisons — = t, , - == /?,, et indiquons par 

 f\{x^' — 1) une multiplication étendue à toutes les valeurs de 6, , par II (a;''' — 1) 

 une multiplication étendue à toutes les valeurs de 6,, c'est-à-dire à toutes 

 les combinaisons i à i des facteurs premiers inégaux de n : nous aurons 



(60) ^ _U^-1). n(x''=-l). n(a;' 1). n(a;'=-l) 



n (x'. — I ). n (x'o— I ). n (x\ — l ). n (xS — 1 ) 



