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DES RESIDUS QUADRATIQUES. 45 



on parviendrait aux formules d'Euler, 



!r 23- 5t . (»i — 1 )t h 



sin. — sin. — sin. — ... sin. = , 



n H II n 2" ' 



sin. c-T. siii. \ : -\ — -T. sin. : h — \ tt. sin. r -t- - ,t ... sin. c h t = , 



\ )(/ \ ni \ ni \ il 2"-' 



desquelles on peut déduire aussi les équations (61), (02), (05). 



XII. 



La formule = n _ [x — «') , en supposant n impair, et faisant 



7 = — — , peut se changer en 



Soit /3 une autre racine primitive de l'équation x" — 1 ^ o : n étant 

 impair, /3- sera aussi une racine primitive de cette équation, et on pourra 

 prendre a = iS-, ce qui donnera 



{a^ — /) (» — «-') = (r'j; — /S') (iS'a' — (3-'), 

 et par suite 



(04) ^Ji.^= n., ~V'^ — 13-') (/3-'x-3'). 



X — 1 A — 1 



Maintenant désignons par m un nombre impair premier à n, par a une 

 racine primitive de l'équation x'" — 1 = o, et par /t l'un des nombres 

 1, 2, 5, ... — ^— faisant x = c?'\ l'équation (64) deviendra 



^„/, _ ,^-„/, A. = ,, 



(63) — — =n., (^"/S* — «-"/5-") («''/3-'-a-''5'). 



a — a « = ' 



On obtient d'une manière semblable, en posant p = — - — , 



(OC) — — ^= n.^_^^(;c"/3'--«-''r') ('/-"û'-zs-M. 



Or, en dénotant simplement par la caractéristique 11 une multiplica- 



