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tion étendue aux pq combinaisons des valeurs de /; et k, on a 



n («''/î-' — ce-'' /3*) = (— I y. a (a-'' n' — y' /3-') : 



donc les équations (6S) et (66) donneront 



(67) n =(— i)". n • 



Cette équation renferme un lemme de M. Gauss, que j'ai démontré d'une 

 autre manière dans le § VIT. En effet, concevons qu'on divise par n tous 

 les multiples mic en prenant les restes positifs ou négatifs, mais numéri- 

 quement inférieurs à 4 » et nommons jHi le nombre des restes négatifs: 

 concevons de même qu'en divisant par m tous les multiples 7ili, on prenne 

 les restes numériquement inférieurs à ^m, et qu'on désigne par », le 

 nombre des restes négatifs : il est visible que l'équation (67) revient à 

 ( — 1)"' = ( — l)*"'. ( — 1)'"', ce qui signiûe que m, -f >j, sera pair ou im- 

 pair comme pq. 



Si m et n sont deux nombres premiers, cela nous ramène à la loi de 

 réciprocité 



Faisant x=i dans l'équation (64^), on obtient 



A=, 

 n = (—1)'. n {B' — S-')^: 



c'est la formule dont a fait usage M. Liouville pour démontrer la loi de 

 léciprocité; elle revient à l'équation connue 



- 1=1 . 2x . 4t. C,t . («-I),T 

 V V. = 2 - . sin. — sin. — sin. — ... sin. ■ 



71 II n 



M. Liouville élève les deux membres à la puissance — ;;^ , et omettani 

 les multiples de m, obtient 



^ = (-1)"". n "^ 



qui exprime le caractère quadratique de n par rapport à m. En effet, 



