DES RESIDUS QUADRATIQUES. 45 



on verra par la théorie des fonctions symétriques, que les ternies omis 

 dans le second membre sont entiers et multiples de ni. On a par la 

 même raison 



(-) = (_,)-.. n^^,(-,,—^). 



et de ces expressions comparées avec l'équation (67), on tire la loi de ré- 

 ciprocité. Ce mode de démonstration, qui dispense de recourir au lemme 

 F = ( — )"", est aussi indiqué par M. Liouville. 



Au reste, on peut, sans ce lemme, établir la formule 



(68). 



m\ J' = 1 /fl'"* — &~ 



;)=n 



ni * = 1 \ ô* — /r 



m étant un entier quelconque, n un nombre premier impair qui ne divise 

 pas m , q égal à — ^, et /3 une racine imaginaire de l'équation a;" — • 1 = o. 

 Il faut se rappeler une propriété des nombres complexes ou pohjnômes radi- 

 caux de la forme 



A -4- A, 5 -4- A,3' -h ... -t- A„_, S"-' , 



c'est-à-dire que si les coefficients A, A,, ... A„_, sont entiers, et si un 

 tel polynôme est divisible par 1 — p, la somme de ses coefficients sera 

 divisible par )(. Pour le démontrer, posons 



A -t- A, 3 + A.,/3' -1- ... -t- A„_,3"-' = (I— (3) (B+ B./3-t- B,i3' h- ... -t- B„_,r-'), 



B, B,, ... B„_, étant supposés entiers : on aura, en ordonnant, 



A-t-B„_, — B-t-(A,-HB-B,)3-+ (A, + B, — BJ/3' -4- ... h- {A„_, + B„_, — B„_,)(3'— = o; 



et cette équation devra, à un facteur constant K près, être identique à 

 l'autre 



1 -4- û -4- /3' -(-... -H /3"-' = 0, 



car, sans cela, ('liminant entre elles /S""', on obtiendrait une équation en 

 ,5 d'un degré inférieur à n — 1, qui serait satisfaite par les n — 1 racines 

 imaginaires de l'équation x" — 1 =o, et qui, par conséquent, aurait plus de 



