40 SUR LA THEORIE 



racines que n'en comporte son degré. On en déduira ainsi les n équations 

 A + B„_, — B=K, A, + B — IÎ. = K, A, -i- 15, — B, = K. ... A„., + B,,.,— B„_, = K, 



dont chacune montre que K sera un nombre entier, et dont la somme 



donne 



A -i- A, -)- A, -4- ... -1- A„_, = Itîi. 



Soit maintenant, pour abréger, 



Qmk û"""* 



•^<^')^ g'_^~- =g-'""-"(t + /3^'' -4- e'* -,- ... -*■ /3=("'-')''), P=^(3)v(/3')y(/3')...v(/3'): 



remplaçons dans la formule (64) /3 par /S'", qui sera aussi une racine pri- 

 mitive, et divisons l'équation résultante, membre à membre, par la même 

 équation (64) : il viendra 



A- = 7 / 2<"- X — 0-'"'' /3-'"'.T- 



1 = n, 



^■=1 \ p'x — S-'- /j-'a,' — (3'- 



et posant x = t , on en déduira 1 = P-, et par suite ï* = p, p étant l'une 

 des racines carrées de l'unité. Mais f (/S') est un polynôme radical à coeffi- 

 cients entiers, et, par conséquent, P — p est aussi un polynôme radical 

 à coefficients entiers; en outre, P^ — p est divisible par 1 — /S, puisqu'il 

 est nul; la somme des coefficients de ^(/5') est m, celle de P — p (on 

 obtient cette somme en faisant /3=1) est m' — /s, ou nf^ — p : donc 

 in~ — p sera divisible par n, donc f^j = p = P, ce qui est la formule (68). 

 Soit m = 2. Si k est pair, on a 



( — ■1)' ((3' — r') = 3' — , a-'; 

 si k est impair , on a 



et ici H — k est pair et plus grand que -, k étant < -. Étendant A: à tou- 

 tes les valeurs 1, 2, ... —5—, et multipliant, on trouve 



( — 1)'^(/3-/3-') (e'—a--) ... (6'— /5-') = (/3^— /3-^) (/3'_r') ... (S'o-n-'-'). 



ce qui réduira l'équalion (68) à -) = ( — 1) " . 



