DES RESIDUS QUADRATIQUES. 47 



La démonstration de M. Liouville peut encore être présentée sous 

 d'autres formes. 



Soient m et n deux nombres premiers impairs, a et h leurs racines pri- 

 mitives : à l'ordre des termes près, les deux suites 



a, j:*, ... a"'"*, et a", ^"', «"', ... a" 



seront identiques, et par suite, x étant quelconque, on aura 



X'" I 1=111—1 li = p 



où p = —g — Mais on a aussi «*" + 1 sh o (mod. m), et partant a''^'' =; — a'' 

 (mod. m), a"^-*-'' = a-"'' : d'ailleurs, on peut remplacer a par «"-, et l'on a 



donc, en substituant, on trouvera 



(69) ^ ~ = IT.'~''(a''''a; — :.-'''') (it-"''a; — ^.«M, 



a; — I '' = 1 



d'où, faisant .i; = /3'^'''' , on déduit 



^mfc* ^— inW /(^;) 



On obtiendra une formule semblable pour n, et comme en étendant 

 le signe n aux pq combinaisons des valeurs de h et A, il vient évidemment 



n ( ^c— "'' ût' — «<■'■ fl-'' ) = ( — 1 )'"'. Il ( x"'' /S—'* — x'"'' /3''' ) . 

 on en conclura 



On tirera de cette équation la loi de réciprocité, si l'on démontre cette 

 autre formule 



